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历志·治历本末(2)


  大德三年八月朔,时加巳依新历日食二分有奇,至其时不应,台官皆惧。保章正齐履谦曰:“日当食不食,古有之。况时近午,阳盛阴微,宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔,时加戌依新历日食五十七秒,众以涉交既浅,且近浊,欲匿不报。履谦曰:“吾所掌者常数也。其食与否,则系于天。”独以状闻。及其时,果食。盖高远难穷之事,必积时累验,乃见端倪。《授时历》推日食之法,较前之十三家最密矣,然尚不能无数刻之差。故元之一代,日食四十有五,推食而不食者一,食而失推者一,夜食而误昼者一。履谦谓:食与否系于天,足犹泥前人当食不食,不当食而食之谬说,诬莫甚矣。

  泰定间,履谦为太史院使,以《授时历》行五十年未尝推考,乃日测晷景并晨昏五星宿度,自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数,各减见行历书二刻,撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串,而经以著定法,串以纪成数;求共法之所以然,数之所从出,则略而不详;作《经串演说》八卷,以发明其蕴焉。

  时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理,著《革象新书》五卷,号为新历之学。

  其《历法改革篇》曰:“历法由古及今,六十余术矣。汉太初粗为可取,然犹疏略未密。唐一行作大衍术,当时以为密矣,以今观之,犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉,久而积差渐多,不容不改,要当随时测验,以求真数。

  其《日道岁差篇》曰:“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒,周岁三百六十五日二十四分二十五秒,百年差一度半,然又谓周岁渐渐不同,上古岁策多,后世岁策少,如此则上古岁差少,后世岁差多。当今术法謜之,立减加岁策之法,上考往古,百年加一秒,下验将来,百年减一秒。”

  其《黄道损益篇》曰:“二至之日,黄道平其度,敛狭每度约得十之九二分,斜行赤道之交。今之授时术步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度数最少,己亥度数最多,其余则多寡稍近。

  其《积年日法篇》曰:“前代造术者,逆求往古门上元,求其积年总会,是以必立日法。然有所谓截元术,但将推步定数为顺算逆考,不求其齐。当今授时术采旧术截元之术,凡积年日法皆所不取。

  其《日月盈缩筒》曰:“月行十三度余十九之七,然或先期,或后期,有差至四五度者,后汉刘洪始考究之,知月有盈缩。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩,最多之时在于春秋二分,均差两度有余。李淳风有推步月孛法,谓六十二日行七度,六十二年七周天。所谓孛者,乃彗星之一种光芒,偏槊者则谓之彗,光芒四出如浑圆者乃谓之孛。然孛以月为名者,孛之所在,太阴所行最迟,太阴在孛星对冲处则所行最疾。孛星不常见,止以太阴所行最迟处测之。

  其《月有九道篇》曰:“月行出入黄道之内外,远于黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交之始,名曰罗喉,交之中,名曰计都。自交初至于交中,月在黄道外,名曰阳限。自交中至于交出,月在黄道内,名曰阴限。所谓九行者,当以画图比之。四图各两黄道,似一圆环,俱于环南定为夏至。环北定为冬至,环西定为春分,环东定为秋分。将一图画为青追,与黄道交于南北,南交为罗,北交为计。其青道二边入在黄道西之东,是内青道;一边出在黄道东之东,是外青道。又将一图画白道,亦与黄道交于南北,南交为计,北交为罗。其白道一边入在黄道东之西,是内白道;一边出在黄道西之西,是外白道。又将一图画朱道,与黄道交于东西,东交为计,西交为罗。其朱道一边入黄道之南,是内朱道,一边出在黄道南之南,是外朱道。又将一图画黑道,亦与黄道交于东西,东交为罗,西交为计。其黑道一边入在黄道南之北,是内黑道;一边出在黄道北之北,是外黑道。此虽画四图,然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者,以北道之行,交于黄道,故道以九言也。八道常变易,不可置于浑仪上,亦不得画于星图。所可具者黄、赤二道耳。欲别于黄,故涂以赤。赤道近八道皆相交远近。朱道止十八度远,黑道至三十度远,青白二道约二十四度远。”

  其《地域远近篇》曰:“古者立八尺之表,以验四时日景。地中夏至,景在表北一尺六寸,冬至,景在表北一丈三尺。南至交广,北至铁勒等处验之,俱各不同。表高八尺,似失之短。至元以来,表长四丈,诚万古之定法也。所谓土圭者,自古有之。然地上天多早晚,太阳与人相近,则景移必疾;日午与人相远,则景移必迟。世间土圭均画而已,岂免午侵己未,而早晚时刻俱差。地中差已如是,若以八方偏地验之,土圭之不可准尤为显。然偏东者,早景疾,而晚景迟,午景先至;偏西者,早景迟,而晚景疾,午景后期;偏北者,少其画,而景迟;偏南者,多其画,而景疾。若南越短,景南指,而子午反复,则又讹逆甚矣。”其《日月薄食篇》曰:“日之圆,体大,月之圆,体小。日道之周围亦大,月道之周围亦小。日道距天较近,月道距天较远。日月之体与所行之道,虽有少广之差,然月与人相近,日与人相远。故月体因近视而可比日道之广,日食、月食当以天度经纬而推。同经不同纬,止曰合朔。同经同纬合朔,而有食矣。人望日体,见为月之黑体所障,故云日食。然日体未尝有损,所谓食者,强名而已。日月对躔,而望若不当二交前后,则不食。望在二交前后,则必食。或既或不既,当以距交远近而推。日月之圆径相倍。日径一度,月径止得日径之半,然在于近视,亦准一度。是犹省秤出于复秤,斤两虽同,其实则有轻重之异。日之圆径倍于月,则暗虚之圆径亦倍于月。月既准一度,则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论,别无四时加试。八方所见食分并同。日食则不然,旧历云:假令中国食既戴,日之下所亏才半,化外反观,则交而不食。何以言之?日月如大小二球,共悬一索。日上、月下,相去稍远,人在其下正望之,黑球遮尽赤球,比若食既。若傍视,则分远近之差,即食数有多寡也。”

  其《五纬距合篇》曰:“古者止知五纬距度,未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久,始知五纬又有盈缩之变,当加减常数以求其逐日之躔。所以然者,盖五纬不由黄道,亦不由月之九道。乃出入黄道内外,各自有其道。视太阳远近而迟疾者,如足力之勤倦又有变数之加减者。比如道里之径直斜曲。其《勾股测天篇》曰:“古人测景,千里一寸之差,犹未亲切。今别定表之制度,并述元有算法。就地中各去南北数百里,仍不偏于东西,俱立一表,约高四丈。于表首下数寸作一方窍,外广而内狭,当中薄如连边,两旁如侧置漏底之碗,形圆而窍方。以南北表景之数相减余,名景差。两表相距里路,各乘南北表景,各如景差而一即得。二表各与戴日之地相距数日,平远各以表景加之,所得各以表高乘之,各如表景而一即得。日轮顶与戴日地相距数,以南北表景各加平远所得自乘,名勾幂。日高自乘,名股幂。两幂相并,名弦幂。开为平方,名曰日远。乃南北表窍之景距日斜远也。

  其《乾象周髀篇》曰:“古人谓圆径一尺,周围三尺。后世考究则不然。圆一而周三,则尚有余;围三而径一,则为不足。盖围三径一,是六角之用也。或谓圆径一尺,周围三尺一寸四分;或谓圆径七尺,周围二十二尺;或谓圆径一百一十三,周围三百五十五。径一而周三一四,犹自径多围少;径七而周二十二,却是径少周多;径一百一十三,周三百五十五,最为精密。其考究之术,两百眼茶盘一,眼广一寸,方图之内,画为圆图,径十寸,圆内又画小方图。小方以算术展为圆象,自四角之方,添为八角曲圆为第一次。若第二次,则为曲十六。第三次为,则曲三十二。第四次则为曲六十四。凡多一交,其曲必倍。至十二次,则其为曲一万六千三百八十四。其初之小方,渐加渐展,渐满渐实,角放愈多,而其为方者不复方,而变为圆矣。今先以第一次言之,内方之弦十寸,名大弦,自乘得一百寸,名大弦幂,内方之勾幂五十寸,名第一次大勾幂。以第一次大勾幂,减其大弦幂,余五十寸,名大股幂,开方得七寸七厘一毫有奇,名第一次大股。以第一次大股减其大弦,余二寸九分二厘八毫有奇,名第一较,折半得一寸四分六厘四毫有奇,名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘,得二寸一分四厘四毫有奇,名第一次小勾幂。以第一次大勾幂,折半得二十五寸。又折半得十二寸五分,名第一次小股幂,并第一次小勾幂,得一十四寸六分四百四毫有奇,名第一次小弦幂,开方得三寸八分二厘六毫有奇,名第一次小弦,即是八曲之一。八乘第一次小弦,行三十寸六分一厘有奇,即是八曲之周围也。此以小数求之,不若改为大数,将大弦改为一千寸,然后依法而求。若求第二次者,以第一次小弦幂,就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余,为第二次大股幂。开方为第二次大股,以减其大弦余为第二较,折半名二次小勾。此小勾之数,即是八曲之边,与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘,名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折,名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂,名第二次小弦幂,开方为第二次小弦,即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次,若至十二次,亦递次相仿。置第十二次之小弦,以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之,得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇,即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之,果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始,圆为数之终。圆始于方,方终于圆。周髀之术,无出于此矣。

  友钦阐明历理,于授时术尤为深得,传其学于龙游人朱晖。有元一代,不为历官,而知历者,友钦一人而已。


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